MAT6025 - Kısmi Diferensiyel Denklemlerin Lie Simetrileri

BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ

LİSANSÜSTÜ EĞİTİM ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK - DR

(2025 - 2026) Ders Bilgi Formu

Ders Adı	Kodu	Yarıyıl	T+U Saat	AKTS	Z / S
Kısmi Diferensiyel Denklemlerin Lie Simetrileri	MAT6025		3 + 0	7,5	Seçmeli

Birim Bölüm	Matematik - DR - Lisansüstü (Yüzyüze)
Amaç	Diferensiyel denklemlerde göz önüne alınan problemin çözümünün var olup olmadığı, varsa çözümün tekliği klasik olarak yoğun bir şekilde çalışılmaktadır. Bunun yanında çözümün yapısının araştırılması da ilgi çeken bir konudur. Son yüzyılda oldukça üzerinde durulan ve çalışılan bu konudaki ilk çalışmalar 1800 lü yılların sonuna kadar gitmektedir. Zamanın Norveçli matematikçi Sophus M. Lie, Galois’in cebirsel denklemler üzerindeki grup teorisi ile uğraştı. Diferensiyel denklemlerin kabul ettiği dönüşüm grupları aracılığıyla sınıflandırılması, mertebe düşürülmesi, lineerleştirilmesi ve çözümlerinin elde edilmesi gibi problemleri çözmeyi başardı. Lie’nin ortaya attığı fikir oldukça yalın ve netti. Mertebesi kadar uzatılmış vektör alanı için göz önüne alınan denklemin değişmez kalması prensibinden hareketle üreteç denilen lineer operatörlerin elde edilmesi ana nokta idi. Buradaki problem, üreteçlerin kullanılması ile denklemin mertebesinin düşürülmesi ve çözümünün elde edilmesindeki belirleyici denklemleri çözmedeki hesaplama zorluğu idi. Teori, 1960 lı yıllara kadar fazla ilgi çekmedi. 1960 lı yılların sonunda L. Ovsiannikov ve öğrencileri (özellikle N. H. Ibragimov) teoriyi kullanarak birçok önemli denklemin sınıflandırması, korunum kanunları ve çözümlerini elde etti. 1990 lı yılların sonu ve 2000 li yılların başında üreteç hesaplamak için bilgisayar paketlerinin kullanılmaya başlanması ile teori çok ilgi çekmeye başladı. Bu derste yukarıda kısaca değindiğimiz teoriyi kullanarak bazı özel ikinci mertebeden lineer olmayan adi diferensiyel denklemlerin mertebe indirgemeleri, integral çarpanları ve çözümleri araştırılmıştır.
Ders İçeriği	1- Lie simetri 2- Lambda simetri 3- Prelle-Singer yöntemi 4- Eşlenik simetri 5- Lie simetri yöntemi ile indirgeme 6- Aşikar bir üretece sahip denklemlerin lambda simetri yöntemi ile incelenmesi 7- salınım denkleminin Prelle-Singer yöntemi ile incelenmesi 8- Salınım Denkleminin eşlenik simetri yöntemi ile incelenmesi

Hafta	Konu
1	Kısmi Diferensiyel denklemler, Lie simetri, sonsuz küçükler, Uzanım fonksiyonları, değişmezlik prensibi
2	Kamutatör - Lie parantezi, Kamutatör tablosu, L2nin ypısı ve standart formu
3	Lambda simetri, uzanım formulü, değişmezlik prensibi
4	Prelle-Singer yöntemi, ilk integraller, integral çarpanı
5	Eşlenik simetri, ilk integraller
6	Lie simetri yöntemi ile indirgeme
7	Ara sınava hazırlık
8	Painleve-Gambier denkleminin Lie simetrileri
9	Painleve-Gambier denkleminin Kamutatör Tablosu
10	Aşikar üretece sabir denklemin lambda simetrileri
11	Salınım Denkleminin Prelle-Singer Yöntemi ile incelenmesi
12	Salınım denkleminin eşlenik simetri ile incelenmesi
13	Değişmez çözümlerin optimal sistemleri
14	Lineerleştirme

Program Çıktıları
1	Alanındaki bir problemi, bağımsız olarak kurgulayabilir, çözüm yöntemi geliştirir, çözer, sonuçları değerlendirir ve gerektiğinde uygulayabilir.
2	Orijinal araştırma ve bağımsız yayın yapabilme yeteneğine sahip olur.
3	Matematiği bilimin dili olarak kullanır.
4	Bilimsel metotlarla elde edilen verileri, teori ve temel notasyonları değerlendirerek karşılaştığı problemleri çözer.
5	Alanı ile ilgili verilerin toplanması, yorumlanması ve duyurulması aşamalarında bilimsel ve etik değerleri gözetir.
6	Daha önceden yapılmış yayınları inceler, farklı ispat yöntemleri ile aynı konulara yaklaşır ya da güncel konular hakkında açık problemleri tespit eder.
7	Ulusal ve uluslararası projelerde bireysel ve ekiple çalışma becerilerini kullanır.
8	Üst düzey düşünme becerilerini kullanır (Eleştirisel düşünme, problem çözme, yaratıcı düşünme, karar verme)
9	Bir matematik problemini gerçekçi kısıtlamalar altında çözer.
10	Alanı ile ilgili uluslararası literatürü izleyecek düzeyde bir yabancı dili etkin kullanabilir.

Ders Öğrenme Çıktısı - Program Çıktıları (1 -5 Puan Aralığı)

Ders Öğrenme Çıktısı	PÇ 1	PÇ 2	PÇ 3	PÇ 4	PÇ 5	PÇ 6	PÇ 7	PÇ 8	PÇ 9	PÇ 10
Lie Simetrilerinin Teorik Temellerini Anlama	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Simetri Yöntemlerini Uygulama	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Çözüm Uzaylarını ve Korunum Kanunlarını İnceleme	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Uygulamaları ve Disiplinlerarası İlişkileri Kurma	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Ortalama Değer	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-

https://ebs.bilecik.edu.tr/pdf/dersbilgigetir/439254